• 2.1.4单侧导数：定义、理解与实例分析

2.1.4单侧导数：定义、理解与实例分析

定义与理解

单侧倒数，即函数 y = f(x) 在点 x 的某个区间内有定义，如果增量比的极限在 x 趋近于零的左侧过程中是存在的，就称这个极限为函数 f(x) 在点 x 处的左倒数。记为 f'⁻(x)，即当 x 从左侧趋近于 x0 时，f'⁻(x0) 表示 f(x) 在 x0 处的左倒数。

当 x 从右侧趋近于 x0 时，增量比的极限如果存在，则称为函数 f(x) 在点 x0 处的右倒数，记为 f'⁺(x0)。

单侧极限与极限的联系表明，函数 f(x) 在 x0 处可导的充要条件是 f'⁻(x0) 和 f'⁺(x0) 皆存在且相等。即，当 f'⁻(x0) 和 f'⁺(x0) 都存在且相等时，f(x) 在 x0 处可导，且其导数值为 f'⁻(x0) = f'⁺(x0)。

实例分析

考虑绝对值函数 f(x) = |x|。在 x=0 处，该函数为分段函数，其左右两侧表达式不同。为了讨论其在 x=0 处的可导性，我们需要利用单侧倒数的定义，分别计算左倒数和右倒数。

计算 f'⁻(0)：当 x 从左侧趋近于 0 时，f(x) = -x，所以 f'⁻(0) = \lim_{{x \to 0^-}} \frac{-x - 0}{x - 0} = \lim_{{x \to 0^-}} \frac{-x}{x} = -1。

计算 f'⁺(0)：当 x 从右侧趋近于 0 时，f(x) = x，所以 f'⁺(0) = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{x - 0}{x - 0} = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{x}{x} = 1。

由于 f'⁻(0) ≠ f'⁺(0)，所以函数 f(x) = |x| 在 x=0 处不可导。

通过这个例子，我们可以看到单侧倒数与导数在研究分段函数和含绝对值函数在分段点与分界点处的可导性时的重要性。这与单侧极限与极限、单词连续与连续讨论的对象有相似之处。